Pathwidth of outerplanar graphs

We are interested in the relation between the pathwidth of a biconnected outerplanar graph and the pathwidth of its (geometric) dual. Bodlaender and Fomin [2], after having proved that the pathwidth of every biconnected outerplanar graph is always at most twice the pathwidth of its (geometric) dual plus two, conjectured that there exists a constant c such that the pathwidth of every biconnected outerplanar graph is at most c plus the pathwidth of its dual. They also conjectured that this was actually true with c being 1 for every biconnected planar graph. Fomin [7] proved that the second conjecture is true for all planar triangulations, and made a stronger conjecture about the linear width of planar graphs. First, we construct for each p ≥ 1 a biconnected outerplanar graph of pathwidth 2p+1 whose (geometric) dual has pathwidth p + 1, thereby disproving all three conjectures. Then we prove, in an algorithmic way, that the pathwidth of every biconnected outerplanar graph is at most twice the pathwidth of its (geometric) dual minus 1. A tight interval for the studied relation is therefore obtained, and we show that all the gaps within the interval actually happen. Key-words: pathwidth, vertex separation, outerplanar graph, biconnected, linear width This work was partially funded by the European projects IST FET AEOLUS and COST 293 GRAAL, and done within the CRC CORSO with France Telecom R&D. ∗ Email: [email protected] Sommet-séparation des graphes planaires extérieurs Résumé : Nous étudions la relation entre la sommet-séparation d’un graphe planaire extérieur 2-connexe G et celle de son dual. Bodlaender et Fomin [2], après avoir prouvé que la sommet-séparation d’un tel graphe G est au plus deux fois celle de son dual plus deux, ont conjecturé que la sommet-séparation d’un tel graphe G est à une constante c de celle de son dual. Ils ont également conjecturé que ceci est vrai avec c = 1 pour tout graphe planaire 2-connexe. Fomin [7] a montré que cette seconde conjecture est vraie si G est une triangulation du plan, et a fait une conjecture plus forte à propos de la largeur linéaire des graphes planaires. En premier lieu, nous construisons pour tout p ≥ 1 un graphe planaire extérieur 2-connexe de sommet-séparation 2p+1 tel que la sommet séparation de son dual soit p+1, ce qui établit que les trois conjectures précédentes sont fausses. Ensuite nous prouvons, de façon algorithmique, que la sommet-séparation d’un graphe planaire extérieur 2-connexe est au plus 2 fois celle de son dual moins 1. Un intervalle serré pour la relation étudiée est ainsi obtenu, et nous montrons que tous les écarts de l’intervalle sont atteints. Mots-clés : sommet-séparation, graphe planaire extérieur, largeur linéaire, biconnexe Pathwidth of outerplanar graphs 3